Tamaño de cristalita y microdeformación: cómo calcularlos a partir de datos XRD

Métodos Scherrer y Williamson-Hall explicados con ejemplos prácticos

La Difracción de Rayos X (XRD) no solo permite identificar fases cristalinas en materiales sólidos, sino también obtener información estructural más profunda, como el tamaño de cristalita y la microdeformación de red. Estos parámetros son clave para comprender el comportamiento mecánico, térmico y químico de materiales como nanopolvos, películas delgadas o aleaciones.

Dos métodos comunes para obtener esta información son la ecuación de Scherrer y el análisis Williamson-Hall (W-H). En este artículo explicamos cómo aplicarlos, qué datos necesitas y qué información puedes extraer de un difractograma XRD.

¿Qué es el tamaño de cristalita?

El tamaño de cristalita no es lo mismo que el tamaño de partícula. Un cristalito es una región coherente del material donde los planos atómicos están perfectamente ordenados. Una partícula puede estar compuesta por múltiples cristalitos.

Cuando los cristalitos son muy pequeños (en el rango nanométrico), los picos en el patrón XRD se ensanchan, fenómeno que se puede usar para calcular su tamaño.

¿Qué es la microdeformación?

La microdeformación (ε) representa distorsiones o tensiones internas en la red cristalina. Estas también generan ensanchamiento de picos, pero de manera distinta al causado por el tamaño de cristalita. Por eso, es importante separar ambos efectos para obtener valores fiables.

Método 1: Ecuación de Scherrer

La ecuación de Scherrer es la forma más simple de estimar el tamaño de cristalita:

D = (K × λ) / (β × cosθ)

Donde:

• D = tamaño del cristalito (nm)
• K = constante de forma (≈ 0.9 para partículas esféricas)
• λ = longitud de onda de los rayos X (ej: 0.15406 nm para Cu Kα)
• β = ancho completo a media altura del pico (FWHM) en radianes
• θ = ángulo de difracción del pico (en radianes)

 Ejemplo:

Supongamos que analizamos una muestra con:

• Pico principal en 2θ = 40°
• Ancho FWHM = 0.2°
• Radiación Cu Kα (λ = 0.15406 nm)

Convertimos a radianes:

• θ = 20° = 0.349 rad
• β = 0.2° = 0.00349 rad

Aplicamos Scherrer:

ini

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D = (0.9 × 0.15406) / (0.00349 × cos0.349) ≈ 40 nm

Resultado: La muestra tiene cristalitos de aproximadamente 40 nanómetros.

Limitación: No distingue si el ensanchamiento se debe a deformación o a tamaño reducido. Por eso usamos el método siguiente.

Método 2: Análisis Williamson-Hall (W-H)

El método Williamson-Hall considera simultáneamente el efecto del tamaño de cristalita y la microdeformación:

arduino

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βcosθ = (Kλ / D) + 4εsinθ

Esta ecuación se reorganiza como una recta lineal:
Y = mX + b

• Y = βcosθ
• X = 4sinθ
• Pendiente (m) = microdeformación ε
• Intercepto (b) = Kλ / D

Procedimiento paso a paso:

1. Recoge varios picos del patrón XRD.
   Para cada pico, mide 2θ y el FWHM (β).
2. Convierte valores a radianes.
3. Calcula βcosθ y 4sinθ para cada pico.
4. Grafica βcosθ (Y) vs. 4sinθ (X).
5. Ajusta una recta a los puntos.
6. Extrae valores:
   • La pendiente da la microdeformación (ε).
   • El intercepto te permite calcular D (tamaño de cristalita).

Ejemplo simplificado:

2θ (°)	θ (rad)	FWHM (β, rad)	βcosθ	4sinθ
30	0.262	0.0035	0.0033	1.03
40	0.349	0.0030	0.0028	1.37
50	0.436	0.0025	0.0022	1.68

Ajustas la recta en Excel o software XRD y obtienes:

• Pendiente = 0.0015 → Microdeformación ε = 0.0015 (o 0.15%)
• Intercepto = 0.0018

Calculamos D:

ini

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D = Kλ / intercepto = (0.9 × 0.15406) / 0.0018 ≈ 77 nm

¿Cuál método usar?

Método	Ventajas	Limitaciones
Scherrer	Rápido, simple, útil con un solo pico	No considera deformación, sensible al ruido
Williamson-Hall	Más preciso, separa efectos	Requiere varios picos y análisis gráfico

Recomendación: Usa Scherrer como primera estimación, y aplica Williamson-Hall si tienes varios picos de buena calidad.

Buenas prácticas para cálculos XRD fiables

• Usa difractogramas con buena resolución angular (paso < 0.02°).
• Aplica corrección instrumental al FWHM si es posible.
• Descuenta el ancho instrumental (βi) usando:
  βcorrecta = √(β² – βi²)
• Asegura que la muestra esté bien alineada y pulverizada.
• Usa software especializado (TOPAS, HighScore, Origin) para los ajustes de línea.

El análisis de ensanchamiento de picos en XRD mediante las ecuaciones de Scherrer y Williamson-Hall es una herramienta poderosa para caracterizar materiales cristalinos a nivel nanométrico. Determinar con precisión el tamaño de cristalita y la microdeformación permite entender mejor las propiedades mecánicas, ópticas y térmicas de los materiales, y es clave en el diseño de nanomateriales, catalizadores, cerámicas avanzadas y fármacos cristalinos.